Mein Versprechen im alten Beitrag, nächste Woche die Fortsetzung zu präsentieren, habe ich leider nicht ganz erfüllen können. Deshalb wollen wir uns heute ganz dem Thema widmen: “Ist es besser eine “1″ oder eine “6″ raus zu tun?”. Wir kennen alle den Fall das der Spieler bzw. die Spieler vor uns eine “1″ nach dem dritten Wurf draußen haben. Wenn wir nun im ersten z.B. 6-3-1 geworfen haben, stehen wir vor der Qual der Wahl, auf die “1″ oder auf die “6″ zu bauen. Konkreter formuliert, versuche ich ebenfalls einen Schock zu werfen oder hoffe ich das meine Mitspieler keinen Schock haben?

Um diese Frage beantworten zu können müssen wir uns ein wenig mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung auseinander setzen. Wenn wir von einem ungezinkten Würfel ausgehen beträgt die Wahrscheinlichkeit das eine bestimmte Zahl fällt “1/6″. Wie kommt man auf “1/6″ ? Man sieht, dass der Wurf sechs mögliche Ergebnisse hat, nämlich die Zahlen 1,2,3,4,5 und 6. Diese sechs Zahlen haben bei ungezinktem Würfel alle die gleiche Wahrscheinlichkeit gewürfelt zu werden. Also bleibt für eine bestimmte Zahl nur der sechste Teil übrig.
Die Wahrscheinlichkeit mit einem Würfel z.B. eine “1″ zu werfen beträgt also:

1/6 = 0,1666 = 16,7%.

Für unsere Fragestellung ist das aber noch nicht ausreichend, wir wollen schließlich wissen wie hoch die Wahrscheinlichkeit bei mehreren Würfeln bzw. Würfen ist, dass mindestens einmal eine “1″ dabei ist. In diesem Fall hätten wir mit einer “6″ draußen sehr wahrscheinlich verloren.
Hier bei sei noch zu erwähnen, das es aus Sicht der Wahrscheinlichkeitsrechnung vollkommen egal ist, ob ich dreimal mit einem Würfel werfe oder ob ich einmal mit drei Würfeln werfe.

Was fangen wir jetzt mit diesen “1/6″ an? Wenn wir jetzt einfach (1/6)*(1/6) rechen, bekommen wir die Wahrscheinlichkeit für den Fall, dass wir zweimal die gleiche Zahl hintereinander geworfen haben. Die beträgt hier:

(1/6)*(1/6) = 0,027 = 2,7%.

Das wollen wir aber ja gar nicht wissen. Wir wollen wissen ob die Würfe mindestens eine “1″ enthalten bzw. ob nur alle andere Zahlen außer der “1″ vorhanden sind.
Und das ist auch schon der kleine Kniff an der Sache. Wir rechnen nicht mit “1/6″ sondern formulieren uns eine Aussage mit “5/6″. Diese “5/6″ stehen in unserem Fall für die Wahrscheinlichkeit dass andere Zahlen ausser der “1″ fallen.

Wir stellen uns die “1/6″ etwas anders dar:

(1/6) = (6/6)-(5/6) = 1-(5/6)

Nun erweitern wir das ganze für mehrere Würfe/Würfel. Als Platzhalter für die Anzahl an Würfen/Würfel nehme ich den Buchstaben “n”.

1-(5/6)ⁿ

Bei n = 2 erhalten wir eine Wahrscheinlichkeit von 30,6%, bei n = 3 immerhin schon 42,1%.
Nochmal zum Verständnis: Das heißt praktisch gesehen, wenn ich dreimal mit einem Würfel werfe oder einmal mit drei Würfeln, liegt die Chance das mindestens eine “1″ dabei ist bei 42,1%.

Jetzt sind wir schon etwas schlauer, wir wissen nun wie man die Chance bei n-Würfen ausrechnet. Leider ist unsere Formel noch nicht ganz vollständig, es fehlt noch ein ganz wichtiger Parameter. Die Anzahl an Spielern! Wie ihr euch sicherlich denken könnt, sinkt die Chance das alle Mitspieler eine “1″ werfen mit der Anzahl an Spielern. Nennen wir die Anzahl der Spieler einfach mal “m” und bauen sie in unsere Formel ein.

(1-(5/6)ⁿ)^m

So, damit wäre unsere Formel komplett. Nun wollen direkt mal ausprobieren, was wir mit ihr alles anfangen können.
Ich bin mit würfeln dran, Bude hat vor mir dreimal geworfen und im ersten Wurf eine “1″ rausgetan. Ich hebe hoch und hab im ersten 6-3-1. Was tun? Unsere Formel hilft uns weiter.
Zuerst nochmal in Worten ausgedrückt: Die Formel gibt die Wahrscheinlichkeit an, das jeder Spieler (in diesem Beispiel nur Bude) mindestens noch einmal eine “1″ geworfen hat.
In unserem Fall ist das einfach, wir betrachten nur Bude als Spieler und er hat noch zweimal mit zwei Würfeln geworfen. Somit ist “m” = 1 und “n” = 4. (Wie bereits am Anfang erwähnt, ist es unerheblich ob ich zwei Würfe mit je zwei Würfeln oder vier einzelne Würfe annehme). Eingesetzt ergibt das:

(1-(5/6)⁴)¹ = 51,8%

Bude hat also eine Chance von knapp über 50% das er, wenn er hochhebt, mindestens noch eine “1″ hat. Ich würde folglich mit der gleichen Wahrscheinlichkeit verlieren, wenn ich die “6″ draußen lassen würde. (Schock-6 natürlich mal ausgenommen). Wir könnten uns darauf einigen, das es bei einem Gegenspieler egal ist, was ich raus tue.

Schocken ist ein Gesellschaftsspiel, soll heißen wir spielen selten zu zweit, also folgt nun die gleiche Betrachtung mit zwei Gegenspielern, Bude und Bags. Gleiche Situation wie im ersten Beispiel, beide haben dreimal geworfen und im ersten eine “1″ rausgetan. Hierbei ist nun “m” = 2 und “n” = 4.
“m” ist nun 2, klar, wir haben jetzt zwei Gegenspieler, “n” bleibt gleich, da die Wurfanzahl pro Spieler angegeben wird. Eingesetzt in unsere wunderhübsche Formel ergibt das:

(1-(5/6)⁴)² = 26,8%

Und ab hier wird´s interessant. Die Chance das Bude und Bags beide noch mindestens einmal die “1″ werfen liegt bei nur noch 26,8%. Ich verrate jetzt nicht was ich bei meinem Wurf 6-3-1 nun raustue würde.

Zum Schluß noch schnell die Chance ausgerechnet wenn Schwelles mit einsteigt. Es wären “m” = 3 und “n” = 4. Macht nach Adam Riese:

(1-(5/6)⁴)³ = 13,9%

Spätestens jetzt sollte klar sein das sich ein kleiner Blick in die Runde lohnt, und man mit etwas Übersicht seine Chancen doch deutlich verbessern kann.

Trotzdem ist und bleibt Schocken ein Glücksspiel, man kann noch soviel rumrechnen, manchmal hat man einfach Pech.

Im dritten Teil widmen wir uns der Fragestellung: “Ich muss anfangen, wieviele Chancen gebe ich meinen Mitspielern?”